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§7.02 连续时间LTI系统状态方程的建立_图文


信号与系统
§ 7.2 连续时间LTI系统 状态方程的建立

信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组,

设系统有 n 个状态变量 ?1(t), ?2 (t),L , ?n (t)

?

?

?

状态变量的一阶导数用 ?1(t), ?2 (t),L , ?n (t) 表示

设系统有 p 个激励 x1(t), x2 (t),L , xp (t)

系统有 q 个响应 y1(t), y2 (t),L , yq (t)

信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

则系统的状态方程为

? ? ???? 1(t) ? f1 ?1(t), ?2 (t),L , ?n (t), x1(t), x2 (t),L , xp (t),t

? ? ? ?

??
?

2

(t

)

?

f2

?1(t), ?2 (t),L

, ?n (t), x1(t), x2 (t),L , xp (t),t

?M

? ? ? ?
??? n (t) ? fn ?1(t), ?2 (t),L , ?n (t), x1(t), x2 (t),L , xp (t), t

系统的输出方程为

? ? ?
?

y1 (t )

?

g1

?1(t), ?2 (t),L

, ?n (t), x1(t), x2 (t),L

, xp (t), t

? ? ??
?

y2

(t)

?

g2

?1(t), ?2 (t),L

, ?n (t), x1(t), x2 (t),L

, xp (t), t

?M

? ? ?
??

yq

(t)

?

gq

?1(t), ?2 (t),L , ?n (t), x1(t), x2 (t),L , xp (t), t

信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

对于线性时不变系统,状态方程

???? 1(t) ? a11?1(t) ? a12?2 (t) ?L ? a1n?n (t) ? b11x1(t) ? b12x2 (t) ?L ? b1p xp (t)

??

??
?

2

(t

)

?

a21?1

(t

)

?

a22?2

(t

)

?

L

? a2n?n (t) ? b21x1(t) ? b22x2 (t) ?L

? b2 p xp (t)

?M

??
??? n (t) ? an1?1(t) ? an2?2 (t) ?L ? ann?n (t) ? bn1x1(t) ? bn2x2 (t) ?L ? bnp xp (t)

系统的输出方程为

? y1(t) ? c11x1(t) ? c12x2 (t) ?L ? c1n xn (t) ? d11e1(t) ? d12e2 (t) ?L ? d1pep (t)

? ?

y2

(t

)

?

c21

x1

(t

)

?

c22

x2

(t

)

?

L

? c2n xn (t) ? d21e1(t) ? d22e2 (t) ?L

? d2 pep (t)

?

?M

?? yq (t) ? cq1x1(t) ? cq2x2 (t) ?L ? cqn xn (t) ? dq1e1(t) ? dq2e2 (t) ?L ? dqpep (t)

信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

将状态变量、激励信号、输出信号、状态方程和输出方程用矩阵表示

???? 1

(t

)

? ?

?
λ(t)

?

??
??

2

(t)??

? M?

??

????

n

(t

)

? ?

??1(t) ?

λ(t

)

?

???2

(t

)

? ?

? M?

???n

(t

)

? ?

?x1(t) ?

x

(t

)

?

? ? ?

x2

(t) M

? ? ?

?? ??xp (t)??

? y1(t) ?

y(t

)

?

? ? ?

y2

(t) M

? ? ?

?? ?? yq (t)??

???λ? (t) ? Aλ(t) ? Bx(t) ?? y(t) ? Cλ(t) ? Dx(t)

信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式

其中各个系数矩阵为

?a11 a12 ? A ? ??a21 a22 ?
?? ? ? ??an1 an2 ?

a1n ?

a2

n

? ?

??

ann

? ?

?c11 c12 ? c1n ?

C ? ??c21

c22 ?

c2

n

? ?

? ? ? ? ??

??cq1 cq2 ?

cqn

? ?

?b11 b12 ? B ? ??b21 b22 ?
?? ? ? ??bn1 bn2 ?

b1p ?

b2

p

? ?

??

bnp

? ?

?d11 d12 ? D ? ??d21 d22 ?
?? ? ? ??dq1 dq2 ?

d1p ?

d

2

p

? ?

??

d

qp

? ?

信号与系统
二、状态方程的建立方法

直接编写法 间接编写法

直观列写 网络拓扑分析编写 系统编写(借助计算机编写) 由输入输出方程编写 由系统方框图或信号流图编写
由系统函数编写

信号与系统
三、由电路图建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量,有时也选电容电荷与 电感磁链。
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程,其中必然包括 L d iL (t) dt
对连接有电容的结点列结点电流方程,其中必然包含 C d vC (t) dt
注意:只能将此项放在方程左边。 (3)把方程中非状态变量用状态变量表示。 (4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
k 状态变量的个数 等于系统的阶数。

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

例:列写如图所示电路的状态方程,若输出信号为电压 y(t),

并列写输出方程。 R1 ? 2? L1 ? 1H

a

L2

?

1 3

H

? x1 (t )
?

?1(t) ? iL1 (t)
C?1F 2

?2 (t) ? iL2 (t)
iC ?t?
?
? ?3 (t) ? vC (t)

? R2 ? 1?

? x2 (t)
?

y(t) ?

解:电路中电感电流和电容电压都是独立的,选取它们作为状态变量,所
以该电路有3个状态变量,是一个三阶系统。状态变量为
?1(t) ? iL1 (t), ?2 (t) ? iL2 (t), ?3(t) ? vC (t)

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

电容C所在节点KCL: 电感L1所在网孔KVL

C

d dt

?3

(t

)

?

?1

(t

)

?

?2

(t

)

L1

d dt

?1(t)

?

R1?1(t)

?

?3 (t )

?

x1(t)

电感L2所在网孔KVL

L2

d dt

?2 (t)

?

R2?2 (t)

?

x2 (t)

?

?3 (t )

上述三个方程代入具体参数得

???? 1

(t

)

? ?

??2

???? 2

(t)??

?

? ?

0

?? ?
?? 3 (t ) ?

?? 2

0 ?3 ?2

?1? ??1(t) ? ?1

3

? ?

???2

(t)??

?

??0

0 ?? ???3(t)?? ??0

0?

?3?? 0 ??

? ? ?

x1(t) ? x2 (t)??

??

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

同时容易求得输出

y(t) ? ?2 (t) ? x2 (t)

写出矩阵形式的输出方程为

y(t) ? ?0

1

??1(t) ?

0?

???2

(t

)

? ?

?

?0

???3 (t ) ??

1?

? ? ?

x1(t) x2 (t)

? ? ?

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

例:列写如图所示电路的状态方程
R1

??1

?t

?

? ?

v1

?t

?

a

?

vS

?t

?
?

C1 C2

?
v2 ?t?
?

L1 i1?t?
L2
?2 ?t? ? i2 ?t? iS ?t?
R2

解:电源 Vs(t) 与电容 C1、C2 组成一个回路,所以只能选一个电容电压作 为状态变量,同样,电源 is(t) 与电感 L1、L2 组成一个节点,所以也只能选
一个电感电流作为状态变量。所选状态变量如图所示,即

?1(t) ? v1(t),

?2 (t) ? i2 (t),

?
?1(t)

?

d dt

v1(t),

?
?2

?t

?

?

d dt

i2 (t)

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

根据电容回路的KVL有, v2 (t) ? vS (t) ? v1(t) ? vS (t) ? ?1(t)

根据电感节点的KCL有, i1(t) ? ?iS (t) ? i2 (t) ? ?iS (t) ? ?2 (t)

电容C1所在的节点 a 的 KCL

C1

d dt

?1(t)

?

C2

d dt

v2 (t)

?

1 R2

v2 (t)

?

?2 (t)

根据C1 L2 L1 R1 组成的回路KVL有

?1(t)

?

L2

d dt

?2

(t)

?

L1

d dt

i1(t)

?

R1i1(t)

信号与系统
三、由电路图建立状态方程

变量 V2(t), i1(t),

C1

d dt

?1(t)

?

C2

d dt

?vS

(t)

?

?1(t)?

?

1 R2

?vS

(t)

?

?1(t)?

?

?2 (t)

?1(t)

?

L2

d dt

?2

(t)

?

L1

d dt

??iS

(t)

?

?2

(t)?

?

R1

??iS

(t)

?

?2

(t)?

并最后写出矩阵形式

? ?1

???? 1(t)

? ?

?

? ?

R2

?C1

?

C2

?

?? ?
?? 2 (t)?

? ?1

? ?

? L1 ? L2 ?

1?

?1

?C1 ? C2
?R1
? L1 ? L2

? ?

? ? ? ? ?

??1 (t ) ???2 (t)

? ? ?

?

? ? ? ? ?

R2

?C1 ?
0

C2

?

? C2

?

? ?

?

C1

?

C2

?

?

?0

?

?

0
?L1 L1 ? L2

?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ??

d dt d dt

vS (t) iS (t)

? ? ? ? ??

?

0
?R1 L1 ? L2

?

? ? ? ? ? ?

?vS (t)?

??iS

(t

)

? ?

信号与系统
四、由信号流图建立状态方程
系统给定方框图或是信号流图等形式,列写状态方程一般过程: (1) 选取积分器的输出为状态变量。 (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程。
如果系统的信号流图表示不是仅包含积分器、加法器和标量乘法器组 成的,那么必须首先把有关环节等效用积分器实现。

信号与系统
四、由信号流图建立状态方程

例: 试将图 (a)所示的系统用一阶流图组合的形式实现,并列写系统

的状态方程和输出方程。一阶流图的结构如图(b)所示,它的传递函数



H

(s)

?

b1

?

b0 s

1? a0

s

X (s) 1

s?a

K

s ? b s(s ? b)

?1

Y(s) X (s) 1

?
?
b0

b1
1
s? 1
? a0

Y (s)

(a)

(b)

信号与系统
四、由信号流图建立状态方程

解:首先将图 (a)中的一阶环节和二阶环节化为只有积分器环节的形

式,因为

s s

? ?

a b

?

1? 1?

a
s b

s

1

K s(s ? b)

?

K s

1 (s ? b)

?

K s

s (1? b)

s

X (s) 1 a

1

1

s

1

?3

?b

?1

1

s

K

?2

1

s

1 Y(s)

?1

?b

信号与系统
四、由信号流图建立状态方程

选取积分器的输出为状态变量,一共有三个,这是一个

三阶系统,由此容易列出状态方程如下

???? 1(t) ? ?b?1(t) ? K?2 (t)

??
??2 (t) ? ?3(t) ? ?1(t) ? x(t)

??

??
?

3

(t

)

?

?b

??3

(t

)

?

?1

(t

)

?

x(t

)?

?

a

?

x(t

)

?

?1

(t

)?

X (s) 1 a

1

1

s

1

?3

1

s

K

?2

1

s

1 Y(s)

?1

?b

?b

?1

信号与系统
四、由信号流图建立状态方程

写出矩阵形式

????

1

(t

)

? ?

? ?b

????

2

(t

? )?

?

? ?

?1

K 0 ? ??1(t) ? ?0 ?

0

1

? ?

???2

(t

)

? ?

?

??1

? ?

x(t)

?? ?
?? 3 (t ) ?

???a ? b

0

?b?? ???3(t)??

??a ? b??

??

输出方程

y(t) ? ?1(t)

信号与系统
五、由输入输出的微分方程建立状态方程

如果系统给定的是代表输入输出关系的微分方程,一般情况下,可 以首先求得系统函数,然后按照下一小节的方法列写状态方程。

例: 已知某系统的输入输出关系为下列三阶的微分方程,列写其状态

方程和输出方程。 d 3 dt 3

y

(t

)

?

12

d2 dt 2

y(t) ? 7 d dt

y(t) ? 3y(t)

?

x(t)

解: 选取状态变量如下 ?1(t) ? y(t)

?2 (t)

?

d dt

y(t)

?3 (t )

?

d2 dt 2

y(t)



? ?

?
?1

(t

)

?

?

d dt

y(t)

?

?2 (t)

???? 2 (t)
?

?

d2 dt 2

y(t)

? ?3(t)

??
? ? 3 (t )
?

?

d3 dt 3

y(t)

?

x(t

)

?

12

d2 dt 2

y(t) ? 7

d dt

y(t) ? 3y(t)

??

? ?12?3(t) ? 7?2 (t) ? 3?1(t) ? x(t)

信号与系统
五、由输入输出的微分方程建立状态方程

将状态方程写成标准的矩阵形式为

???? 1

(t

)

? ?

?0

1

??
?? 2

(t)??

?

? ?

0

0

0 ? ??1(t) ? ?0?

1

? ?

???2

(t

)??

?

??0

? ?

x(t

)

?? ?
?? 3 (t ) ?

???3

?7

?12?? ???3(t)??

??1 ??

??

显然,输出方程为

??1(t) ?

y(t) ? ?1(t) ? ?1

0

0?

???2

(t

)

? ?

???3 (t ) ??

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程
将系统函数的分母分解因式,可以对应构成并联或串联形 式的流图结构,即可列出不同形式的状态方程。 1. 用流图的并联结构形式列状态方程 2. 用流图的串联结构形式列状态方程

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程
例: 已知某系统的系统函数,列写其状态方程和输出方程。
4s ?10 H (s) ? s3 ? 8s2 ?19s ?12
解:分别用直接形式、串联形式和并联形式实现该系统并列写对应的
状态方程

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

(1) 直接形式

H (s) ?

4 s2

?

10 s3

1

?

8 s

?

19 s2

?

12 s3

将系统函数写出积分形式得到直接形式的信号流图

1
X ?s?

1 s
?3
?8

4

1

s

?2 1

?1 10 Y ?s?

s

? 19 ? 12

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

选积分器的输出得到状态方程和输出方程为

???? 1(t) ? ?2 (t)
??
?? 2 (t) ? ?3(t)
??
写??出?矩3(t阵) 形? 式?1得2?到1(t) ?19?2 (t) ? 8?3(t) ? x(t)

y(t) ? 10?1(t) ? 4?2(t)

???? 1

(t

)

? ?

?0

????

2

(t)??

?

? ?

0

1 0 ? ??1(t) ? ?0?

0

1

? ?

???2

(t

)

? ?

?

??0??

x(t)

?? ?
?? 3 (t ) ?

???12

?19

?8?? ???3(t)??

??1 ??

??

??1(t) ?

y(t) ? ?10

4

0?

???2

(t

)

? ?

???3 (t ) ??

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

(2) 串联形式

对系统函数进行因式分解得

H

(s)

?

(s

2 ?1)

?

(2s ? 5) (s ? 3)

?

(s

1 ?

4)

?

2

s

???1

?

1 s

? ??

?

(2 ? (1 ?

5) s 3) s

?

1 s (1 ?

4) s

流图实现如下图:

2

X ?s? 2

1
s ?3

1
s ?2

1

?1

?3

51

1
s ?1 Y ?s?
?4

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

选积分器输出为状态变量,得状态方程和输出方程为

???? 1(t) ? ?4?1(t) ? 5?2 (t) ? 2??3(t) ? 3?2 (t)? ? ?4?1(t) ? ?2(t) ? 2?3(t)
??
?? 2 (t) ? ?3?2 (t) ? ?3(t)
??
??3(t) ? ??3(t) ? 2x(t)
?
y(t) ? ?1(t)
写出矩阵形式

???? 1

(t

)

? ?

??4

???? 2

? (t)?

?

? ?

0

?1 ?3

2 ? ??1(t) ? ?0?

1

? ?

???2

(t

)

? ?

?

??0??

x(t)

y(t) ? ?1

0

??1(t) ?

0?

???2

(t

)

? ?

?? ?
?? 3 (t ) ?

?? 0

0 ?1?? ???3(t)?? ??2??

???3 (t ) ??

??

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

(3) 并联形式

对系统函数进行部分分式展开

H (s) ? (4s ?10) ? 1 ? 1 ? ?2 (s ?1)(s ? 3)(s ? 4) (s ?1) (s ? 3) (s ? 4)

流图:

1
s ?1

1

?1

1

1

X ?s?

1

s ?2 1

Y ?s?

?3

1

1

s ?3 ? 2

?4

信号与系统
六、由系统函数建立状态方程

选积分器输出为状态变量,列写状态方程和输出方程为

???? 1(t) ? ??1(t) ? x(t)

??
?? 2 (t) ? ?3?2 (t) ? x(t)

??

??
?

3

(t

)

?

?4?3

(t

)

?

x(t

)

写出标准的矩阵形式为

y(t) ? ?1(t) ? ?2 (t) ? 2?3(t)

???? 1

(t

)

? ?

??1

0

??
??

2

? (t)?

?

? ?

0

?3

0 ? ??1(t) ? ?1?

0

? ?

???2 (t)??

?

??1??

x(t)

?? ?
?? 3 (t ) ?

?? 0

0 ?4?? ???3(t)?? ??1??

??

??1(t) ?
y(t) ? ?1 1 ?2? ???2 (t)??
???3 (t ) ??



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