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全国初中数学竞赛预赛试题及答案


2014 年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
(竞赛时间:2014 年 3 月 2 日上午 9:00--11:00) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 以下每小题均给出了代 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选 项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)
1.若 是最大的负整数, 是绝对值最小的有理数, 是倒数等于它本身

的自然数,则

的值为【



(A)2013

(B)2014

(C)2015

【答】D.

解:最大的负整数是-1,∴ =-1;

绝对值最小的有理数是 0,∴ =0; 倒数等于它本身的自然数是 1,∴ =1.



=

(D)0 =0.

2. 已知实数 【】

满足

则代数式

的值是

(A) 【答】A.

(B)3

(C)

(D)7

解:两式相减得
3.如图,将表面展开图(图 1)还原为正方体,按图 2 所示摆放,那么,图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【 】

(A)

(B)

(C)

(D)

【答】C. 解:将图 1 中的平
面图折成正方体,MN 和线段 c 重合.不妨设 图 1 中完整的正方形 为完整面,△AMN 和 △ABM 所在的面为组 合 面 , 则 △AMN 和 △ABM 所在的面为两个相邻的组合面,比较图 2,首先确定 B 点,所以线段 d 与 AM 重合,MN 与线段 c 重合.

4. 已知二次函数

的图象如图所示,则下列 7 个代数式 ,

,,







中,其值为正的式子的个数为

【】



A )

2 个

( B )3 个

(C)4 个

(D)4 个以上

【答】C.

解:由图象可得: , , ,∴





.

抛物线与 轴有两个交点,∴ .

. 当 =1 时 ,

,即

当 = 时, ,即

.从图象可

得,抛物线对称轴在直线 =1 的左边,即





.因此 7 个代数式中,其值为正的式子的

个数为 4 个. 5. 如图,Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当 A

点在反比例函数 【】

(x>0)的图象上移动时,B 点坐标满足的函数解析式为

(A)

(x<0) (B)

(x<0)

(C)

(x<0) (D)

(x<0)

【答】B. 解:如图,分别过点

分别做 轴的垂线

,那么







,故

.

6.如图,四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形,点 C、D 在边 AB 上,且

AC=DB=1,点 P 是线段 CD 上的动点,分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作

正方形 AMNP 和正方形 BRQP,E、F 分别为 MN、QR 的中点,连接 EF,设 EF

的中点为 G,则当点 P 从点 C 运动到点 D 时,点 G 移动的路径长为【 】

(A)1

(B)2

(C)3

(D)6

【答】B. 解:设 KH 中点为 S,连接 PE、ES、SF、PF、PS,可证明四边形 PESF
为平行四边形, ∴G 为 PS 的中点, 即 在 点 P 运 动 过 程 中 , G 始 终 为 PS 的 中 点 , 所
以 G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,

∵ CD=AB-AC-BD=6-1-1=4, ∴ 点 G 移动的路径长为 =2. 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)

7.已知

【答】



,化简



.

解:∵

,∴





原式=

.

8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干

个,其中红色玻璃球有 6 个,黄色玻璃球有 9 个,已知从袋子中随机摸出一个蓝

色玻璃球的概率为 ,那么,随机摸出一个为红色玻璃球的概率为

.

【答】 .

解:设口袋中蓝色玻璃球有 个,依题意,得

,即 =10,所

以 P(摸出一个红色玻璃球)=

.

9. 若 【答】8.

,则

=

.

解:∵

,∴

.



,即

.∴

10.如图,在 Rt△OAB 中,∠AOB=30°,AB=2,将 Rt△OAB 绕 O 点顺时

针旋转 90°得到 Rt△OCD,则 AB 扫过的面积为

.

【答】 . 解:∵Rt△OAB 中,∠AOB=30°,AB=2,
∴AO=CO= ,BO=DO=4,

∴阴影部分面积=

=

=

=.

11.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点

E 是 AD 上一个动点,把△BAE 沿 BE 向矩形内部折叠,

当点 A 的对应点 A1 恰落在∠BCD 的平分线上时,

CA1=

.

【答】



解:过 A1 作 A1M⊥BC,垂足为 M,设 CM=A1M=x,则 BM=4-x, 在 Rt△A1BM 中,





= ,∴x =A1M=



∴在等腰 Rt△A1CM 中,C A1=

.

12.已知 a、b、c、d 是四个不同的整数,且满足 a+b+c+d =5,若 m 是关

于 x 的方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=2014 中大于 a、b、c、d 的一个

整数根,则 m 的值为

.

【答】20.

解:∵(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=2014,且 a、b、c、d 是四

个不同的整数,由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根,∴(m-a)、(m-

b)、(m-c)、(m-d)是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53,

∴(m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75.

又∵a+b+c+d =5,∴m =20.

三、解答题(第 13 题 14 分,第 14 题 16 分,第 15 题 18 分,共 48 分)

13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本

每本 5 元,大笔记本每本 7 元,钢笔每支 10 元,购买的大笔记本的数量是钢笔

数量的 2 倍,共花费 346 元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数

量各为多少?

解:设购买小笔记本 x 本,大笔记本 y 本,钢笔 z 支,

则有



.

易知 0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, … … … … … … … … … … … … … … 4分





,即

.

∵x,y,z 均为正整数,

≥0,即 0<z≤14

∴z 只能取 14,9 和 4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分

①当 z 为 14 时,

=2,

=28.

.

②当 z 为 9 时,

=26,

=18.

.

③当 z 为 4 时,

=50,

=8.

.

综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本 50 本,大笔记本 8









4

支. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14 分

14.如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,直线 DE 交直线 AB 于点 E,交直线 BC 于

F,AE=6.

(1)若点 P 是边 AD 上的一个动点(不与点 A、D 重合), 设 DP 为 x,四边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式;
(2)若 AE=2EB. ①求圆心在直线 BC 上,且与直线 DE、AB 都相切的⊙O 的半径长; ②圆心在直线 BC 上,且与直线 DE 及矩形 ABCD 的某一边所在直
线都相切的圆共有多少个?(直接写出满足条件的圆的个数即可.)

14、解:(1)在 Rt

中,

…………………………………
…… … … … … … … … 5 分

(2)①



.

……………… ……… 7 分
若⊙ 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 在 AB 的左侧,过点 作 则可设

于,

.

解得

……………… … 10 分

若⊙ 与直线 DE、AB 都相切,且圆心 在 AB 的右侧,过点 作



,则可设

解得

即满足条件的圆的半径为



6.………………………………… …… … 13 分



6

个.…………………………………………………… … ………………… … … … … … 16 分

15. 如图 1,等腰梯形 OABC 的底边 OC 在 x 轴上,AB∥OC,O 为坐标原点, OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接 OB,点 P 为线段 OB 上一个动点,点 E 为边 OC 中点.

(1)连接 PA、PE,求证:PA=PE;
(2)连接 PC,若 PC+PE= ,试求 AB 的最大值; (3)在(2)在条件下,当 AB 取最大值时,如图 2,点 M 坐标为(0,-1), 点 D 为线段 OC 上一个动点,当 D 点从 O 点向 C 点移动时,直线 MD 与梯形另一 边交点为 N,设 D 点横坐标为 m,当△MNC 为钝角三角形时,求 m 的范围.

解:(1)证明:如图 1,连接 AE. ……………………………………… … … … … … … … 5 分

(2)∵PC+PE= ,∴PC+PA= .
显然有 OB=AC≤PC+PA= .… … … … … 7 分
在 Rt△BOC 中,设 AB=OA=BC=x,则 OC=2x,OB= ,
∴ ≤ ,∴ ≤2. 即 AB 的最大值为 2. … … … … … … … … … … 10 分
(3) 当 AB 取最大值时,AB=OA=BC=2,OC=4. 分三种情况讨论: ①当 N 点在 OA 上时,如图 2,若 CN⊥MN 时,此时线段 OA 上 N 点下方的点 (不包括 N、O)均满足△MNC 为钝角三角形. 过 N 作 NF⊥x 轴,垂足为 F,
∵A 点坐标为(1, ),∴可设 N 点坐标为( , ),则 DF=a-m,

NF=

, FC=4 - a.

∵△OMD∽△FND∽△FCN ,



.

解得,

,即当 0< <

时,△MNC 为钝角三角形;… 14



②当 N 点在 AB 上时,不能满足△MNC 为钝角三角形;… … … … … … 15 分

③当 N 点在 BC 上时,如图 3,若 CN⊥MN 时,此时 BC 上 N 点下方的点(不 包括 N、C)均满足△MNC 为钝角三角形.

∴当 < <4 时,△MNC 为钝角三角形.

综上所述,当 0< <

或 < <4 时,△MNC 为钝角三角形. … 1



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