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河北省张家口市第一中学高二文科班人教版数学学案选修1-1:33导数在解决单调性问题中的应用 [ 高考]


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3.3.1 函数的单调性与导数 函数的单调性与其导数的

正负的关系 【问题导思】 1.导数的几何意义是什么? 【提示】 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于 y=f(x)的图象,在 x=x0 处切线的斜率. 2.若函数 y=f(x)在 x∈[a,b]的图象上任一点的切线的斜率均为正值,则 y=f(x)在 x∈ [a,b]的单调性是怎样的? 【提示】 单调递增的. 1.一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 (1)如果 f′(x)>0,则 f(x)在该区间上单调递增. (2)如果 f′(x)<0,则 f(x)在该区间上单调递减. 2. 导数值 >0 <0 切线的斜率 >0 <0 倾斜角 锐角 钝角 曲线的变 化趋势 上升 下降 函数的 单调性 递增 递减

(对应学生用书第 55 页)

导数与函数图象的关系 设函数 f(x)在定义域内可导, y=f(x)的图象如图 3-3-1 所示, 则导函数 y=f′(x) 可能为( )

图 3-3-1

【思路探究】 (1)y=f(x)的图象在 y 轴左侧是上升的,对应的导数图象是怎样的?(2) 函数在 y 轴右侧先增再减最后又增,对应的导数又该如何呢? 【自主解答】 由函数的图象知:当 x<0 时,函数单调递增,导数应始终为正;当 x

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>0 时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有 D 正确. 【答案】 D 判断函数与导数图象间对应关系时, 首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的 图象,其次再注意以下两个方面: (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系:在某个区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 y= f(x)在(a,b)上单调递增;如果 f′(x)<0,则 y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有 f′(x) =0,则 y=f(x)是常数函数,不具有单调性. (2)导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′?x?>0且越来越大 f′?x?>0且越来越小

函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′?x?<0且越来越小 绝对值越来越大 f′?x?<0且越来越大 绝对值越来越小

图 3-3-2 已知函数 y=xf′(x)的图象如图 3-3-2 所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数,下列 四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )

【解析】 由 y=xf′(x)的图象可知当 x>1 时,x>0 且 f′(x)>0,所以当 x>1 时,f(x) 单调递增,只有 C 成立.故选 C.
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【答案】 C 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间. 3 (1)y=2x -3x (2)f(x)=3x2-2ln x. 【思路探究】 求定义域 → 求导数 →

解不等式y′<0和y′>0 → 写单调区间 【自主解答】 (1)由题意得 y′=6x2-3. 令 y′=6x2-3>0,解得 x<- 当 x∈(-∞,- 2 2 或 x> , 2 2

2 2 )时,函数为增函数,当 x∈( ,+∞)时,函数也为增函数. 2 2 2 2 令 y′=6x2-3<0, 解得- <x< , 2 2 2 2 当 x∈(- , )时,函数为减函数. 2 2 2 2 2 2 故函数的递增区间为(-∞,- )和( ,+∞),递减区间为(- , ). 2 2 2 2 (2)函数的定义域为(0,+∞), 3x2-1 2 f′(x)=6x- =2· . x x 3x2-1 令 f′(x)>0,即 2· >0. x 3 且 x>0,可解得 x> ; 3 3x2-1 令 f′(x)<0,即 2· <0, x 3 由 x>0 得,0<x< , 3 3 3 ∴f(x)的增区间为( ,+∞),减区间为(0, ). 3 3 1.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在 定义域内讨论,定义域为实数集 R 可以省略不写. 2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符 号“∪”连接,如(1)题中的增区间. (1)求函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间; (2)求函数 y=x3-2x2+x 的单调区间. 【解】 (1)此函数的定义域为 R, f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). 令 6(x-1)(x-2)<0,解得 1<x<2, 所以函数 f(x)的单调递减区间是(1,2).

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令 6(x-1)(x-2)>0,解得 x>2 或 x<1, 所以函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞),(-∞,1). (2)此函数的定义域为 R. y′=3x2-4x+1, 1 令 3x2-4x+1>0,解得 x>1 或 x< . 3 1 因此 y=x3-2x2+x 的单调递增区间为(1,+∞),(-∞, ). 3 1 再令 3x2-4x+1<0,解得 <x<1. 3 1 3 2 因此 y=x -2x +x 的单调递减区间为( ,1). 3 判断含有字母参数的函数的单调性 bx 讨论函数 f(x)= 2 (-1<x<1,b≠0)的单调性. x -1 【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的?函数是奇函数还是偶函数?(2)若先讨论 x ∈(0,1)上的单调性,能否判断 f′(x)在(0,1)上的正负?b 的取值对其有影响吗? 【自主解答】 f(x)的定义域为(-1,1);函数 f(x)是奇函数, ∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性. x′· ?x2-1?-x?x2-1?′ ∵f′(x)=b· ?x2-1?2 b?x2+1? =- 2 , ?x -1?2 当 0<x<1 时,x2+1>0,(x2-1)2>0, ∴- 2 <0. ?x -1?2 ∴当 b>0 时,f′(x)<0.∴函数 f(x)在 (0,1)上是减函数; 当 b<0 时,f′(x)>0,∴函数 f(x)在(0,1)上是增函数; 又函数 f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知: 当 b>0 时,f(x)在(-1,1)上是减函数; 当 b<0 时,f(x)在(-1,1)上是增函数. x2+1

1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等 式 f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:①求导数 f′(x);②判断 f′(x) 的符号;③给出单调性结论. 2.导数的正负决定了函数的增减,当导函数中含有参数时,应注意对参数进行分类讨 论. b 求函数 y=x+ (b≠0)的单调区间. x
2 b b x -b 【解】 函数 y=x+ (b≠0)的定义域为{x|x≠0},y′=1- 2= 2 . x x x

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①当 b<0 时,在函数定义域内 y′>0 恒成立,所以函数的单调递增区间为(-∞,0) 和(0,+∞); ②当 b>0 时,令 y′>0,解得 x> b或 x<- b,所以函数的单调递增区间为(-∞, - b)和( b,+∞);令 y′<0,解得- b<x< b且 x≠0, 所 b 以 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ( - b , 0) 和 (0 , ).

(对应学生用书第 57 页)

导数在解决单调性问题中的应用 a (12 分)设函数 f(x)=ax- -2ln x. x (1)若 f′(2)=0,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】

a 2 【规范解答】 (1)∵f(x)的定义域为(0,+∞),f′(2)=0,且 f′(x)=a+ 2- , x x a 4 ∴a+ -1=0,∴a= .3 分 4 5 4 4 2 2 ∴f′(x)= + 2- = 2(2x2-5x+2), 5 5x x 5x 1 由 f′(x)>0 结合 x>0,得 0<x< 或 x>2, 2 1 ∴f(x)的递增区间为(0, ]和[2,+∞), 2 1 递减区间为( ,2).6 分 2 (2)若 f(x)在定义域上是增函数,则 f′(x)≥0 对 x>0 恒成立,8 分
2 a 2 ax -2x+a ∵f′(x)=a+ 2- = , x x x2

∴需 x>0 时 ax2-2x+a≥0 恒成立 10 分 2x 化为 a≥ 2 对 x>0 恒成立, x +1 2x 2 ∵ 2 = ≤1,当且仅当 x=1 时取等号. x +1 x+1 x
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∴a≥1,即 a∈[1,+∞).12 分

1.求函数的单调区间首先要确定函数的定义域,再求出使导数的值为正或负的 x 的范 围,写单调区间时,要注意以上两范围求交集. 2.已知函数的单调性求参数的范围,是一类非常重要的题型,其基本解法是转化为 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在给定区间上恒成立问题.

1.函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒 有 f′(x)=0,那么函数 f(x)在这个区间内为常函数. 2.用导数判断函数的单调性和求单调区间,实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的 正 负 问 题 , 对 于 含 有 字 母 参 数 的 函 数 , 要 注 意 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 .

(对应学生用书第 57 页)

1.f(x)在(a,b)内可导,若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内是( A.增函数 B.减函数 C.奇函数 【解析】 易知导函数 f′(x)<0 时,f(x)单调递减. 【答案】 B 1 2.函数 y=4x2+ 单调递增区间是( ) x A.(0,+∞) 1 ? C.? ?2,+∞? 1 1 【解析】 由 y=4x2+ ,得 y′=8x- 2. x x 1 1 令 8x- 2>0,得 x> . x 2 【答案】 C 3.函数 y=2-3x2 在区间(-1,1)上的增减性为( ) A.增函数 C.先增后减 数在区间(-1,1)上先增后减. 【答案】 C 1 4.求函数 y= x2-ln x 的单调递减区间. 2 【解】 函数的定义域为(0,+∞),

) D.偶函数

B.(-∞,1) D.(1,+∞)

B.减函数 D.先减后增

【解析】 y′=-6x,故当 x∈(-1,0)时,y′>0;当 x∈(0,1)时,y′<0,所以原函

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1 1 y′=x- ,令 y′=x- ≤0 得 0<x≤1, x x ∴函数的单调减区间为(0,1]. 1 已知 x>1,证明:ln x+ >1. x 1 【证明】 令 f(x)=ln x+ (x>1), x 1 1 x-1 ∴f′(x)= - 2= 2 , x x x ∵x>1,∴f′(x)>0, 1 ∴f(x)=ln x+ 在(1,+∞)上单调递增, x ∴f(x)>f(1)=ln 1+1=1. 1 从而 ln x+ >1, x 命题得证. 已知 x>0,证明:1+2x<e2x. 【证明】 设 f(x)=1+2x-e2x,则 f′(x)=2-2e2x =2(1-e2x), 当 x>0 时,2x>0,e2x>e0=1,∴f′(x)=2(1-e2x)<0, ∴函数 f(x)=1+2x-e2x 在(0,+∞)上是减函数. ∵函数 f(x)=1+2x-e2x 是连续函数, ∴当 x>0 时,f(x)<f(0)=0, ∴当 x>0 时,1+2x-e2x<0,即 1+2x<e2x. 3.3.2 函数的极值与导数

极值点与极值 【问题导思】 函数 y=f(x)的图象如图所示.

1.函数在 x=a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系? 【提示】 函数在点 x=a 的函数值比它在点 x=a 附近的其他点的函数值都小 . 2.f′(a)为多少?在点 x=a 附近,函数的导数的符号有什么规律? 【提示】 f′(a)=0,在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0. 3.函数在 x=b 点处的情况呢? 【提示】 函数在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b) =0,且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. 1.极小值点与极小值 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0;
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而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b)=0; 而且在点 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b) 叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极 值. 【问题导思】 函数的极大值一定大于极小值吗? 【提示】 不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况, 极 小 大 值 可 能 比 极 小 值 还 .

(对应学生用书第 58 页)

求函数的极值 求下列函数的极值点和极值. 1 3 2 (1)f(x)= x -x -3x+3; 3 3 (2)f(x)= +3ln x. x 【思路探究】 求导 原函数 ― ― → 导函数 ― → f′?x?=0的点x0

判断两侧符号 ― ― → 极值 【自主解答】 (1)f′(x)=x2-2x-3. 令 f′(x)=0,得 x1=3,x2=-1,如下表所示: x f′(x) f(x) ∴f(x)极大值= (-∞,-1) + -1 0 极大值 14 3 (-1,3) - 3 0 极小值 -6 (3,+∞) +

14 ,f(x)极小值=-6. 3 3 (2)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3?x-1? f′(x)=- 2+ = , x x x2 令 f′(x)=0 得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (0,1) -
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1 0

(1,+∞) +

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f(x)

极小值 3

因此当 x=1 时,f(x)有极小值,并且 f(1)=3. 1. 求函数的极值首先要求函数的定义域, 然后求 f′(x)=0 的实数根, 当实数根较多时, 要充分利用表格,使极值点的确定一目了然. 2.函数极值和极值点的求解步骤: ①确定函数的定义域; ②求方程 f′(x)=0 的根; ③用方程 f′(x)=0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格; ④由 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况. 8 求函数 y=2x+ 的极值. x 【解】 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 8 y′=2- 2,令 y′=0,得 x=± 2. x 当 x 变化时,y′、y 的变化情况如下表: x y′ y 当 x=2 时,y 极小值=8. 由函数的极值求参数 2 3 已知 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=1 与 x=- 时都取得极值, 且 f(-1)= , 求 a、 3 2 b、c 的值. 2 3 【思路探究】 (1)函数在 x=1 和 x=- 时都取得极值,说明 f′(1)与 f′(- )的结果 3 2 怎样?(2)你能由已知条件列出方程组求解 a、b、c 吗? 【自主解答】 f′(x)=3x2+2ax+b, 2 令 f′(x)=0,由题设知 x=1 与 x=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 1- =- a, 3 3 ∴ 2 b 1×?- ?= . 3 3 1 解得 a=- ,b=-2. 2 (-∞,-2) + -2 0 -8 (-2,0) - (0,2) - 2 0 8 (2,+∞) +

由表知:当 x=-2 时,y 极大值=-8;

? ? ?

∴f′(x)=3x2-x-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 2 2 x (-∞,- ) - (- ,1) 3 3 3 0 f′=(x) + -

1 0

(1,+∞) +

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f(x)

22 +c 27

3 - + 2 c

2 由上表知,函数在 x=1 与- 处取得极值. 3 1 ∴a=- ,b=-2. 2 1 ∴f(x)=x3- x2-2x+c, 2 1 3 由 f(-1)=-1- +2+c= , 2 2 得 c=1.

已知函数的极值情况,逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点: (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解. (2)因为导数值为 0 不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证. 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 和 x=3 处有极值,求 a、b 的值. 【解】 由 f(x)=x3+3ax2+bx+a2,得 f′(x)=3x2+6ax+b. 又 f(x)在 x=-1 和 x=3 处有极值, ∴f′(-1)=3+b-6a=0,① f′(3)=27+18a+b=0.② 联立①②,得?

? ?a=-1, ?b=-9. ?

∴f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3). 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) ∴f(x)在-1,3 处取极值, ∴a=-1,b=-9 符合题意. 函数极值的综合应用 已知函数 f(x)=x -3ax-1(a≠0).若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y= m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.
3

(-∞,-1) +

-1 0 极大

(-1,3) -

3 0 极小

(3,+∞) +

【思路探究】 (1)能否由已知条件求出 a 值,确定 f(x)?(2)直线 y=m 与 y=f(x)的图象 有三个不同交点的含义是什么?如何用数形结合求出 m 的范围? 【自主解答】 ∵f(x)在 x=-1 处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0;
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当 x>1 时,f′(x)>0. ∴由 f(x)的单调性可知, f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1, 在 x=1 处取得极小值 f(1) =-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 又 f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).

1.解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系. 2.极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用,以及与单调性问题的综合,题 目着重考查已知与未知的转化, 以及函数与方程的思想、 分类讨论的思想在解题中的应用. 在 解题过程中,熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键. 已知 a 为实数,函数 f(x)=-x3+3x+a. (1)求函数 f(x)的极值,并画出其图象(草图); (2)当 a 为何值时,方程 f(x)=0 恰好有两个实数根? 【解】 (1)由 f(x)=-x3+3x+a,得 f′(x)=-3x2+3, 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 极大值为 f(1)=a+2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象, 如图所示,这里,极大值 a+2 大于极小值 a-2. (-∞,-1) - -1 0 a-2 (-1,1) + 1 0 a+2 (1,+∞) -

由表可知函数 f(x)的极小值为 f(-1)=a-2;

(2)结合图象,当极大值 a+2=0 时,有极小值小于 0,此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交 点,即方程 f(x)=0 恰有两个实数根,所以 a=-2 满足条件; 当极小值 a-2=0 时,有极大值大于 0,此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点,即方程 f(x) =0 恰好有两个实数根,所以 a=2 满足条件. 综上,当 a=± 2 时,方程恰有两个实数根.

(对应学生用书第 60 页)

因未验根而致误 已知 f(x)=x +3ax +bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a、b 的值.
3 2

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【错解】 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0 且 f′(x)=3x2+6ax+b, 所以?

? ?f′?-1?=0, ?f?-1?=0, ?

? ?3-6a+b=0, 即? ?-1+3a-b+a2=0, ?

? ? ?a=1, ?a=2, 解得? 或? ?b=3, ?b=9. ? ?
【错因分析】 解出 a, b 值后, 未验证 x=-1 两侧函数的单调性而导致产生增根致误. 【防范措施】 可导函数在 x0 处的导数为 0 是该函数在 x0 处取得极值的必要不充分条 件,而并非充要条件,故由 f′(x)=0 而求出的参数需要检验,以免出错. 【正解】 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0,且 f′(x)=3x2+6ax+b.

? ? ?f′?1?=0, ?3-6a+b=0, ∴? 即? ?f?-1?=0, ?-1+3a-b+a2=0, ? ? ? ? ?a=1, ?a=2, 解得? 或? ?b=3, ? ? ?b=9.
当 a=1,b=3 时, f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时, f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈(-∞,-3)时,f(x)为增函数; 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数. 所以 f(x)在 x=-1 时取得极小值, 因此 a=2,b=9.

1.极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小.极值是不唯一的,极大 值与极小值之间也无确定的大小关系. 2.极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点,极小值点可以 看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点. 3.可导函数 f(x)求极值的一般步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格; (4)检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极 大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在 这 个 根 处 无 极 值 .

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1.下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C.函数 f(x)=|x|只有一个极小值 D.函数 y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值 【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没 有极值,故 A、B、D 错误,C 正确,函数 f(x)=|x|只有一个极小值为 0. 【答案】 C 2.函数 f(x)的定义域为区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 3-3-5 所示, 则函数 f(x)在(a,b)内的极小值的个数为( )

图 3-3-5 A.1 C.3 B.2 D.4

【解析】 在(a,b)内,f′(x)=0 的点有 A、B、O、C. 要为函数的极小值点,则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正,只有点 B 符合. 【答案】 A 3.函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 y=f(x)的极值点的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 【解析】 f′(x0)=0?/ y=f(x)在 x0 处有极值,但 y=f(x)在 x0 处有极值?f′(x0)=0, 应选 B. 【答案】 B 1 4.求函数 y=x+ 的极值. x
2 1 x -1 【解】 y′=1- 2= 2 ,令 y′=0 解得 x=± 1,而原函数的定义域为{x|x≠0},∴ x x

当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (-∞,- 1) + -1 0 极大 值 (-1,0) - (0,1) - 1 0 极小 值 (1,+∞) +

所以当 x=-1 时,y 极大值=-2,当 x=1 时,y 极小值=2. 已知函数 f(x)=ax2+bln x,其中 ab≠0,求证:当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点. 【证明】 ∵f(x)=ax2+bln x(ab≠0) ∴f(x)的定义域为(0,+∞)
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2 b 2ax +b f′(x)=2ax+ = x x

当 ab>0 时,若 a>0,b>0,则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是单调递增的;若 a<0, b<0,则 f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是单调递减的. ∴当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点. 已知函数 f(x)=ax2+bln x,其中 ab≠0,求函数有极值时 a、b 满足的条件.
2 b 2ax +b 【解】 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax+ = . x x

若函数 f(x)有极值,首先 f′(x)=0,即 2ax2+b=0 在(0,+∞)上有根. b 因为 ab≠0,x2=- ,所以当 ab<0 时, 2a b 2ax2+b=0 在(0,+∞)上有根 x= - . 2a b 又当 a>0,b<0 时,f′(x)在 x= - 两侧的符号是左负右正,此时函数 f(x)在 x= 2a b - 取得极小值; 2a b 当 a<0,b>0 时,f′(x)在 x= - 两侧的符号是左正右负,此时函数 f(x)在 x= 2a b - 取得极大值. 2a 综上,函数 f(x)=ax2+bln x(ab≠0)有极值时,a,b 所满足的条件是 ab<0. 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 函数 f(x)在区间[a,b]上的最值 【问题导思】 1.如图,观察区间[a,b]上函数 f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?

【提示】 f(x1)、f(x3)、f(x5)是极小值,f(x2)、f(x4)是极大值. 2.在上图中,你能找出 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值吗? 【提示】 函数 f(x)在[a,b]上的最小值是 f(x3),最大值是 f(b). 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上 一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得. 求函数 y=f(x)在[a,b]上的

最值的步骤 1.求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; 2.将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最 大 值 , 最 小 的 一 个 是 最 小 值 .

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(对应学生用书第 61 页)

求函数在闭区间上的最值 求下列函数的最值: 1 (1)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]; 2 - (2)f(x)=e x-ex,x∈[0,a],a 为正常数. 【思路探究】 令f′?x?=0 比较 求导 ― ― → 求极值与端值 ― ― → 得出最值

1 【自主解答】 (1)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0, 2 2 4 解得 x= π 或 x= π. 3 3 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 0 0

?0,2π? ? 3 ?


2 π 3 0 π 3 + 3 2

?2π,4π? ?3 3 ?


4 π 3 0 2 π- 3 3 2

?4π,2π? 2π ?3 ?
+ π

∴由上表可知,当 x=0 时,f(x)有最小值,f(0)=0; 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π)=π. 1+e 1? 1 x x x ′-(e )′=- x-e =- (2)f′(x)=? . ?e ? e ex
2x

当 x∈[0,a]时,f′(x)<0 恒成立, 即 f(x)在[0,a]上是减函数. 故当 x=a 时,f(x)有最小值 f(a)=e-a-ea; 当 x=0 时,f(x)有最大值 f(0)=e-0-e0=0.

1.熟练掌握求函数在闭区间上最值的步骤,其中准确求出函数的极值是解题的关键. 2.求函数的最值应注意以下两点: (1)注意定义域,要在定义域(给定区间)内列表; (2)极值不一定是最值,一定要将极值与区间端点值比较,必要时需进行分类讨论. 求下列函数的最值. (1)f(x)=-x3+3x(x∈[- 3, 3]) (2)f(x)=-x3+2x2+3.(x∈[-3,2]). 【解】 (1)f′(x)=-3x2+3. 令 f′(x)=-3(x2-1)=0,得 x=± 1,
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f(1)=2,f(-1)=-2,f(- 3)=0,f( 3)=0. 故 f(x)的最大值为 2,最小值为-2. (2)f′(x)=-3x2+4x, 4 由 f′(x)=x(4-3x)=0,得 x=0, . 3 当 x 变化时,f′(x)及 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 值3 113 值 27 -3 48 极大 3 (-3,0) - 0 0 极小 4 (0, ) 3 + 4 3 0 4 ( ,2) 3 - 2

故当 x=-3 时,f(x)取最大值 48, 当 x=0 或 x=2 时,f(x)取最小值 3. 求含参数的函数的最值 已知函数 f(x)=ax -6ax +b,问是否存在实数 a、b,使 f(x)在[-1,2]上取得最 大值 3,最小值-29,若存在,求出 a、b 的值;若不存在,请说明理由.
3 2

【思路探究】 (1)f(x)在[-1,2]上的最大、最小值是怎样求得的?(2)在求解最值的过程 中要不要对参数进行讨论? 【自主解答】 显然 a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=4(舍去). (1)当 a>0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) [-1,0) + 0 0 最大值 (0,2] -

所以当 x=0 时,f(x)取得最大值,所以 f(0)=b=3. 又 f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2). 所以当 x=2 时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2. (2)当 a<0 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) [-1,0) - 0 0 最小值 (0,2] +

所以当 x=0 时,f(x)取得最小值,所以 b=-29. 又 f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1). 所以当 x=2 时,f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,a=-2. 综上所述,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

本题运用求解函数最值的方法确定参数 a,b 的值,解题的关键在于对函数中参数 a 的
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讨论,确定函数的最值在哪一点处取得. 已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 【解】 (1)f′(x)=-3x2+6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2). 于是有 22+a=20,解得 a=-2. ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 函数最值的综合应用问题 2 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 处都取得极值. 3 (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x∈[-1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 【思路探究】 (1)由已知条件如何求 a、 b 的值并确定函数 f(x)的单调区间?(2)对 x∈[- 1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立应如何进行转化? 【自主解答】 (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b, ∵f′(1)=3+2a+b=0, 2 12 4 f′(- )= - a+b=0, 3 9 3 1 解得 a=- ,b=-2, 2 ∴f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 2 2 x (-∞,- ) - (- ,1) 3 3 3 0 f′(x) + - f(x) 极大值 2 ∴函数 f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞); 3 2 递减区间为(- ,1). 3 1 (2)由(1)知,f(x)=x3- x2-2x+c,x∈[-1,2], 2
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1 0 极小值

(1,+∞) +

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2 2 22 当 x=- 时,f(- )= +c 为极大值, 3 3 27 ∵f(2)=2+c,∴f(2)=2+c 为最大值. 要使 f(x)<c2,(x∈[-1,2])恒成立, 只须 c2>f(2)=2+c,解得 c<-1 或 c>2.

利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用.要使不等式 f(x)<h 在 区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数的最大值 f(x)max,只要 h>f(x)max,则上 面的不等式恒成立.同理,要使不等式 f(x)>h 在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n] 上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min,只要 f(x)min>h,则不等式 f(x)>h 恒成立. 1 已知 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 1 【解】 ∵f(x)=x3- x2-2x+5, 2 ∴f′(x)=3x2-x-2. 令 f′(x)=0,即 3x2-x-2=0, 2 ∴x=1 或 x=- . 3 当 x 变化时,f′(x)及 f(x)的变化情况如下表: 2 2 2 x (-1,- ) - (- ,1) 3 3 3 f′(x) f(x) 2 ∴当 x=- 时, 3 2 157 f(x)取得极大值 f(- )= ; 3 27 7 当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)= . 2 11 又 f(-1)= ,f(2)=7. 2 ∴f(x)在 x∈[-1,2]上的最大值为 f(2)=7. ∴要使 f(x)<a 恒成立,需 f(x)max<a,即 a>7. ∴所求实数 a 的取值范围是(7,+∞). + 0 157 27 -

1 0 7 2

(1,2) +

(对应学生用书第 63 页)

因忽略区间导致所求最值错误 求函数 y=5-36x+3x2+4x3 在区间(-2,2)上的最大值和最小值. 【错解】 y′=-36+6x+12x2, 3 令 y′=0,即 12x2+6x-36=0,解得 x1=-2,x2= , 2

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3 3 ∴f(-2)=57,f( )=-28 ,f(2)=-23, 2 4 3 ∴函数的最大值为 57,最小值为-28 . 4 【错因分析】 所求最大值 57 是在 x=-2 时取得的,不在所给区间(-2,2)上,故求解 错误. 【防范措施】 在求解函数的最值时,一定要弄清所给区间的范围,解题时,常会出现 某些极值点不在所给区间中,而误把该极值充当了最值的错误. 3 【正解】 y′=-36+6x+12x2,令 y′=0,即 12x2+6x-36=0,解得 x1= ,x2= 2 -2(舍去). 3 当 x∈(-2, )时,f′(x)<0,函数单调递减; 2 3 当 x∈( ,2)时,f′(x)>0,函数单调递增. 2 3 3 3 ∴函数 f(x)在 x= 时取得极小值 f( )=-28 ,无极大值,即在(-2,2)上函数 f(x)的最小 2 2 4 3 值为-28 ,无最大值. 4

1.函数 f(x)在区间[a,b]上连续是 f(x)在区间[a,b]上有最值的充分不必要条件; 如果 f(x)在[a,b]上连续,那么 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值,但在(a,b)内不一 定有最大值和最小值. 2.函数的最值是比较某个闭区间内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的 函数值得出的; 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有. 3.利用导数法求最值,实质是通过比较某些特殊的函数值得到最值,因此,我们可以 在导数法求最值的思路的基础上进行变通.令 f′(x)=0 得到方程的根 x1,x2,…,直接求 得函数值 f(x1),f(x2)…等,然后与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当 然把导数法与函数的单调性相结合,也可以求最值.

(对应学生用书第 63 页)

1.下列是函数 f(x)在[a,b]上的图象,则 f(x)在(a,b)上无最大值的是(

)

【解析】 在开区间(a,b)上,只有 D 选项所示函数 f(x)无最大值. 【答案】 D 2.给出下列四个命题: ①若函数 f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值一定是[a,b]上的极大值; ②若函数 f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值一定是[a,b]上的极小值; ③若函数 f(x)在[a,b]上有最值,则最值一定在 x=a 或 x=b 处取得; ④若函数 f(x)在(a,b)内连续,则 f(x)在(a,b)内必有最大值与最小值.

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其中真命题共有( ) A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

【解析】 当函数在闭区间上的最值在端点处取得时,其最值一定不是极值,①②不正 确;函数在闭区间上的最值可以在端点处取得,也可以在内部取得,③不正确;单调函数在 开区间(a,b)内无最值,④不正确. 【答案】 A 3.f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( A.-2
2

) B.0 C.2

【解析】 f′(x)=3x -6x.令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2(舍去). ∴f(x)在[-1,0)上递增,在(0,1]上递减,f(0)既为极大值也是最大值,f(0)=2. 【答案】 C 4.求函数 y=x3+3x2-2,x∈[-2,3]的值域. 【解】 令 y′=3x2+6x=0 得 x=0 或 x=-2, x=0 时,y=-2;x=-2 时,y=2;x=3 时,y=52, ∴函数的值域为[-2,52]. 整理得 2c2-c-3≥0. 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)当 f′(1)=3 时,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值. 【解】 (1)f′(x)=3x2-2ax.因为 f′(1)=3-2a=3,所以 a=0. 当 a=0 时,f(1)=1,f′(1)=3, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3x-y-2=0. 2a (2)令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2= . 3 2a 当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,2]上是增加的,从而[f(x)]max=f(2)=8-4a. 3 2a 当 ≥2,即 a≥3 时,f(x)在[0,2]上是减少的,从而[f(x)]max=f(0)=0. 3 2a 2a 2a 当 0< <2, 即 0<a<3 时, f(x)在[0, ]上是减少的, 在[ , 2]上是增加的, 从而[f(x)]max 3 3 3 =?

? ?8-4a,

0<a≤2,

?0, 2<a<3. ? ? ?8-4a, a≤2. 综上所述,[f(x)]max=? ? ?0, a>2.
已知函数 f(x)=x3-ax2+3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最小值和最大值.

【解】 (1)f′(x)=3x2-2ax+3, 要使 f(x)在[1, +∞)上是增函数, 则有 3x2-2ax+3≥0 3 3 在[1,+∞)内恒成立,即 a≤ x+ 在[1,+∞)内恒成立. 2 2x 3x 3 又在[1,+∞)上 + ≥3(当且仅当 x=1 时取等号),所以 a≤3. 2 2x (2)由题意知 f′(x)=3x2-2ax+3=0 的一个根为 x=3,可得 a=5,所以 f′(x)=3x2-
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1 10x+3=0 的根为 x=3 或 x= (舍去),又 f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15, 3 所以 f(x)在[1,5]上的最小值是 f(3)=-9,最大值是 f(5)=15.

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