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(江苏专版)2019届高考数学一轮回顾 第六章 不等式、推理与证明 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规_图文


章不等式、推理与证明
第2讲 二元一次不等式(组)与简 单的线性规划问题

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By +C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的平面 区域(半平面)___不__包__括___边界直线. 不 等 式 Ax + By + C≥0 所 表 示 的 平 面 区 域 ( 半 平 面)___包__括_____边界直线.

(2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax +By+C 的值符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐 标适合 Ax+By+C>0,而位于另一个半平面内的点,其坐 标适合___A__x_+__B_y_+__C_<__0_______. (3)可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊 点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的____符__号____来判断 Ax+By+ C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个 不等式所表示的平面区域的_公__共__部__分___.

2.线性规划中的基本概念

名称

意义

约束条件

由变量 x,y 组成的__不___等__式___

线性约 由 x,y 的___一__次_____不等式(或方程)组成的

束条件 不等式(组)

目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等

线性目 标函数

关于 x,y 的___一__次_____解析式

名称 可行解 可行域
最优解
线性规 划问题

意义 满足约束条件的解__(_x_,__y_) ___ 所有可行解组成的___集__合_____ 使目标函数取得__最__大__值____或___最__小__值___的 可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 __最__大__值____或__最__小__值____问题

1.在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点为 A(3,-1),
B(-1,1),C(1,3),则由△ABC 围成的区域所表示的二元
??x+2y-1≥0, ?x-y+2≥0, 一次不等式组为___??_2_x_+__y_-__5_≤__0_________.

[解析] 如图由直线方程的两点式可 写出三角形三边所在的直线方程:
直线 AC 的方程为 2x+y-5=0;直 线 BC 的方程为 x-y+2=0;直线 AB 的方程为 x+2y-1=0;再在三 角形的内部任取一点,如点(1,1), 代 入上 述三 条直线 方程 的左 边得 : 2×1+ 1- 5<0,1- 1+ 2>0,1+2×1-1>0,又因为含有边界,所以△ABC 围成的
??x+2y-1≥0, 区域所表示的二元一次不等式组为?x-y+2≥0,
??2x+y-5≤0.

??x+y≤1, 2.已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1,则 z=x+2y 的最
??x+1≥0,
小值为__-__5____.

??x+y≤1, [解析] 变量 x,y 满足的不等式组?x-y≤1,表示的平面区
??x+1≥0
域如图阴影部分所示,作辅助线 l0:x+2y=0,并平移到过
点 A(-1,-2)时,z=x+2y 达到最小,最小值为-5.

1.必明辨的 2 个易错点 (1)画不等式(组)表示平面区域时,注意不等式中是否有等号. (2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的. 2.必会的 2 种方法 (1)确定二元一次不等式表示平面区域的方法 二元一次不等式所表示的平面区域的确定,一般是取不在直 线上的点(x0,y0)作为测试点来进行判定,满足不等式的则平 面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一侧.

(2)求一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值的方法 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=-abx+bz,通过 求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值. ①当 b>0 时,截距bz取最大值时,z 也取最大值;截距bz取最 小值时,z 也取最小值; ②当 b<0 时,截距bz取最大值时,z 取最小值;截距bz取最小 值时,z 取最大值.

1.(2018·泰州模拟)若点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,
则 t 的取值范围是___??_23_,__+__∞__??___.
[解析] 因为直线 2x-3y+6=0 的上方区域可以用不等式 2x -3y+6<0 表示,所以由点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的
上方得-4-3t+6<0,解得 t>23.

2.若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值是__-__6____. [解析] 作出函数 y=|x|=?????x-,xx,≥x0<,0,和 y=2 围成的等腰直 角三角形的可行域(如图阴影部分所示), 则可得过交点 A(-2,2)时,2x-y 取得 最小值为-6.

二元一次不等式(组)表示的平面区域

??x≥0, (1)不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域的面积为

4

??3x+y≤4

___3_____.

??x-y≥0, (2)若满足条件?x+y-2≤0,的整点(x,y)恰有 9 个(其中整
??y≥a
点是指横、纵坐标都是整数的点),则整数 a=___-__1___.

【解析】 (1)平面区域如图所示.

解???x+3y=4,得 ??3x+y=4

A(1,1),

易得 B(0,4),C??0,43??,

|BC|=4-43=83.

所以 S△ABC=12×83×1=43.

(2)不等式组所表示的平面区域如图 中阴影部分所示,当 a=0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0), (2,0);当 a=-1 时,正好增加 (-1,-1),(0,-1),(1,-1), (2,-1),(3,-1)5 个整点.

二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法 (1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直 线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不 等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域 为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异 侧的平面区域; (2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应 画为虚线,特殊点常取原点.

x-y≥0,

??2x+y≤2,

若不等式组

表示的平面区域

?y≥0,

?? 是一个三角形,则 a 的取值范围x是+_y(_≤0_,_a_1_]_∪__??43_,__+__∞__??_.

??x-y≥0, [解析] 不等式组?2x+y≤2,表示的平
??y≥0

面区域如图所示(阴影部分).

解???y=x, 得 ??2x+y=2

A??23,23??;解?????y2=x+0,y=2

得 B(1,0).若原不等式组表示的平面

区域是一个三角形,则直线 x+y=a 中的 a 的取值范围是

0<a≤1 或 a≥43.

目标函数的最值(范围)问题(高频考点)

(1)(2018·邯郸大名一中月考)若 x,y 满足约束条件

??x≥0, ?x+2y≥3,则

x-y

的取值范围为_[-__3_,__0_]_.

??2x+y≤3,

??x-2y+4≥0, (2)(2016·高考江苏卷)已知实数 x,y 满足?2x+y-2≥0,则

x2+y2 的取值范围是_??_45_,__1_3_??_.

??3x-y-3≤0,

【解析】 (1)不等式组表示的平面区域为三 角形 ABC 及其内部,其中 A(1,1),B(0, 3)设 z=x-y,则目标函数 z 可看作函数
y=x-z 在 y 轴上的截距的相反数,显然当 直线 y=x-z 过点 A 时,z 取得最大值 0;当过点 B 时,z 取 得最小值-3.故 x-y 的取值范围为[-3,0].

(2)不等式组所表示的平面区域是 以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点 的三角形及其内部,如图所示.因 为原点到直线 2x+y-2=0 的距 离为 25,所以(x2+y2)min=45,又当 (x,y)取点(2,3)时,x2+y2 取得最大值 13,故 x2+y2 的取
值范围是??45,13??.

求目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键 是准确作出可行域,理解目标函数的意义. (2)常见的目标函数有: ①截距型:形如 z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜 截式:y=-abx+bz,通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的 最值.

②距离型:形如 z=(x-a)2+(y-b)2. ③斜率型:形如 z=xy--ba. [注意] 转化的等价性及几何意义.

1.已知实数 x,y 满足
?(2- 3)x+y-6+2 3≤0, ?2x-y-2>0, ?y- 3≥0,
则(x-y)x(y x+y)的取值范围是__??_2_3_,__+__∞__??___.

[解析] 不等式组所表示的区域如图阴影部分所示. y
(x-y)x(y x+y)=x2x-yy2=1-xxy22=
1-kk2,其中 k=xy为 OP 的斜率,由图象
计算得 A(2,2),B(3, 3),观察可知 k∈?? 33,1??,
令 f(k)=1-kk2,则 f′(k)=(11-+kk22)2>0,

故 f(k)是 k 的增函数,因此 f(k)≥ 23,没有最大值,所以
(x-y)x(y x+y)的取值范围是?? 23,+∞??.

2.已知实数 x,y 满足?????xxx-+ ≤y23+,y-1≥8≤0,0,若点??3,52??是使
ax-y 取得最小值的唯一的可行解,则实数 a 的取值范围为
__??_-__∞__,__-__12_??_____.

[解析] 记 z=ax-y,注意到当 x=0 时,y=-z,即直线 z= ax-y 在 y 轴上的截距是-z.在坐标平面内画出题中的不等式 组表示的平面区域,结合图形可知,满足题意的实数 a 的取 值范围为 a<-12.

线性规划的实际应用 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种 新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg, 用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙 材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、 产品 B 的利润之和的最大值为__2_1_6_0_0_0_元.

【解析】 由题意,设产品 A 生产 x 件, 产品 B 生产 y 件, 利润 z=2 100x+900y,
??1.5x+0.5y≤150, x+0.3y≤90,
? 线性约束条件为 5x+3y≤600, ??x≥0,
y≥0,

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, 又由 x∈N,y∈N, 可知取得最大值时的最优解为(60,100), 所以 zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).

利用线性规划解决实际问题的步骤 (1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有 哪些限制条件,主要变量有哪些.由于线性规划应用题中的 量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格 或图形; (2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量 x,y,并列出相应的不等式组和目标函数; (3)作图:准确作图,平移找点(最优解); (4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值); (5)检验:根据结果,检验反馈.

某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车 总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,求租金最 少为多少元.

[解] 设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z=1 600x +2 400y,则约束条件为
36x+60y≥900,
??y-x≤7, ?y+x≤21, ??x,y∈N,
作出可行域,如图中阴影所示整点部分,可知目标函数过点 (5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元). 故租金最少为 36 800 元.

——与线性规划有关的交汇问题 已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b ≥a+cln c,则ba的取值范围是__[_e,__7_]__.

【解析】 由条件可得 3·ac+bc≥5,
???ac+bc≤4, ??bc≥eac,

令ac=x,bc=y,则问题转化为约束条件为?????3xy≥x++eyx≤y,≥45,,求目标函
数 z=ba=xy的取值范围.作出不等式组所表示的平面区域(如图 中阴影部分),过原点作 y=ex 的切线,切线方程为 y=ex,切 点 P(1,e)在区域内.故当直线 y=zx 过点 P(1,e)时,zmin=e;
当直线 y=zx 过点 C??12,72??时,zmax=7,故ba∈[e,7].

本题命题角度新颖,题目不是直接给出线性约 束条件和目标函数求最值,因而需要将所给不等式组进行合 理转化后,约束条件才明朗,试题将不等式,对数、指数函 数,导数以及曲线的切线问题相交汇,对运用数形结合、分 类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高.解决本 题关键是:(1)正确将不等式 5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+ cln c 进行合理转化,明确约束条件,将其转化为线性规划问 题;(2)正确识别ba的几何意义,将其转化为斜率问题求解.线 性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的 相关知识交汇命题.解决此类问题的思维精髓是“数形结 合”,作图要精确,图上操作要规范.

已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不
?0≤x≤ 2, ? 等式组 y≤2, 给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A
?x≤ 2y
的坐标为( 2,1),则 z=O→M·O→A的最大值为_____4_______.



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