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高考数学二轮复习精品学案:第20讲 填空题解题技法(含2013试题,含名师技法展示)[ 高考]


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填空题解题技法

真题试做?———————————————————
1.(2013·高考天津卷)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则 a+bi=________. 2.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则A→E·B→D =________. 3.(2013·高考浙江卷)设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则 ab =________.高考解密?———————————————————

填空题在高考中 的地位
高考数学填空题 的考查功能
解答数学填空题 的常用方法

填空题是高考三大题型之一,分值一般不低于 16 分,因 此,研究填空题的解答技巧就显得十分必要
填空题主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决 问题的能力,试题多数是教材例题、习题的改编或综合, 体现了对通性通法的考查.该题型的基本特点是:(1)具 有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答 案简短、明确、具体,不需要写出求解过程而只需要写出
结论等特点
1.直接法 2.特殊值法 3.图解法 4.构造法

技法一 直接法 所谓直接求解法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、定义、性质、定理、 公式等,经过变形、推理、计算、判断得出结论的一种解题方法.它是解填空题的最基本、 最常用的方法.使用直接法解填空题,要善于通过现象看本质,自觉地、有意识地采取灵活、 简捷的解法.
(2013·高考山东卷)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°,且|A→B|=3,|A→C|=2.若A→P=λA→B +A→C,且A→P⊥B→C,则实数 λ 的值为 ________.

直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程中,我们要根据题 目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过 程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.
强化训练 1 (2013·湖北省八校高三第二次联考)已知 i 是虚数单位,z=1+i,z 为 z 的共
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轭复数,则复数zz2在复平面上对应的点的坐标为________. 技法二 特殊值法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信
息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、 特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的 结论.为保证答案的正确性,在利用此方法时,一般应多取几个特例.
无论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点,则实 数 a 的取值范围是________.

求值或比较大小关系等问题均利用特殊值法求解,但要注意此种方法仅限 于所求值只有一种的填空题,对于开放性的问题或者多种答案的填空题,则不能使用该方法 求解.
强化训练 2 设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则O→A·O→B =________.
技法三 图解法(数形结合法) 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征,利用图形直观性求解填空题,称为数形结 合型填空题,这类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过程,因而有 些问题可以借助于图形,然后参照图形的形状、位置、性质,综合图象的特征,进行直观地 分析,加上简单的运算,便可得出正确的答案.

(2013·辽 宁 省 五 校 第 一 联 合 体 高 三 年 级 考 试 ) 已 知 集 合

? A = ?(x,y)
?

???

??2x-y+2≥0?? ?x-2y+1≤0?,B={(x,y)|x2+(y-1)2≤m},若 A?B,则 m 的取值范围是________.

??x+y-2≤0 ??

图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用,利用图形 的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类 方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相 关结论求出结果.
强化训练 3 若 f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又 f(-2)=0,则满足(x+1)f(x -1)>0 的 x 范围为__________.
技法四 构造法
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用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运 算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例 如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数 学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等 具体的数学模型,达到快速解题的目的.
(2012·高考辽宁卷)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上, 若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所 要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转 化为自己熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最为常用的解题技巧.通过补形能将一般 几何体的有关问题在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补成特殊的长方体等.
强化训练 4 a=ln2 0111-2 0111,b=ln2 0112-2 0112,c=ln2 0113-2 0113,则 a,b,c 的大 小关系为________.
完成作业:专题九 第二讲
_体验真题·把脉考向_ 1.【解析】(直接法)由(a+i)(1+i)=bi 可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此 a-1=0,a+1=b, 解得 a=1,b=2,故 a+bi=1+2i. 【答案】1+2i 2.【解析】(图解法)
如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角 坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),
∴A→E=(1,2),B→D=(-2,2), ∴A→E·B→D=1×(-2)+2×2=2. 【答案】2 3.【解析】法一:(特殊值法) 因为 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2, 当 x=0 时,可得 0≤b≤1; 当 x=1 时,可得 a+b=0, 所以 a=-b,所以-1≤a≤0. 由 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2, 得 ax+b≤x3-2x2+1,
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所以 ax-a≤(x3-x2)-(x2-1), 所以 a(x-1)≤(x2-x-1)(x-1), 所以当 x>1 时,有 a≤x2-x-1 恒成立,所以 a≤-1. 综上可知,a=-1,所以 ab=-a2=-1. 法二:(构造法) 由于不等式 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,即-x4+x3≤ax+b≤x3-2x2+1,记 f(x)=x3-2x2 +1,g(x)=-x4+x3,显然 f(x)-g(x)=x4-2x2+1=(x2-1)2,所以当 x≥0 时,f(x)≥g(x),当 且仅当 x=1 时取“=”,而 f′(x)=3x2-4x,g′(x)=-4x3+3x2,f′(1)=g′(1)=-1,因此,当 y =ax+b 为 f(x)与 g(x)在 x=1 处的公切线时,才能使 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2 恒成立,此时 a=f′(1)=-1,b=1(切点为(1,0)),所以 ab=-1. 【答案】-1 _名师讲坛·技法展示_ 【例 1】【解析】∵A→P⊥B→C,∴A→P·B→C=0. 又A→P=λA→B+A→C,B→C=A→C-A→B, ∴(λA→B+A→C)·(A→C-A→B)=0, 即(λ-1)A→C·A→B-λA→B2+A→C2=0, ∴(λ-1)|A→C||A→B|cos 120°-9λ+4=0. ∴(λ-1)×3×2×(-12)-9λ+4=0.解得 λ=172. 【答案】172 [强化训练 1]【解析】z=1+i,则zz2=(11+-ii)2=12-i i=(12-i(i)1+(i1)+i)=-1+i,则复 数zz2在复平面上对应的点的坐标为(-1,1). 【答案】(-1,1) 【例 2】【解析】要使曲线(x-a)2+y2=2a+4 表示圆,需满足 2a+4>0,即 a>-2. 因直线 y=kx+1 过定点(0,1),要使直线与圆恒有交点,只需点(0,1)在圆内或圆上, 所以 1+a2-2a-4≤0,解得-1≤a≤3. 综上所述,可知 a 的取值范围为[-1,3]. 【答案】[-1,3] [强化训练 2]【解析】
如图,由题意可取过焦点的直线为 x=12,求出交点 A(12,1),B(12,-1), ∴O→A·O→B=12×12+1×(-1)=-34. 【答案】-34 【例 3】
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【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是 1,1,
2,由 A?B 得三角形所有点都在圆的内部,故 m≥ 2,解得 m≥2. 【答案】[2,+∞) [强化训练 3]

【解析】注意到 f(x)为奇函数,同时注意到在(-∞,0)上是增函数,又 f(-2)=0,于是, 构造一个草图,结合草图转化不等式.

由(x+1)f(x-1)>0??????xf(+x1->01)>0或?????xf(+x1-<01)<0? ??x>-1
?
??-2<x-1<0或x-1>2 或?????xx<--1<1-2或0<x-1<2?x<-1 或-1<x<1 或 x>3, 即 x 的范围为{x|x<-1 或-1<x<1 或 x>3}. 【答案】{x|x<-1 或-1<x<1 或 x>3} 【例 4】【解析】因为 PA,PB,PC 两两相互垂直,故正三棱锥 P?ABC 的外接球即是以 PA,PB,PC 为棱的正方体的外接球,所以球心到截面 ABC 的距离即为球半径减去正三棱锥 面 ABC 上的高,设 PA=PB=PC=a,则 3a2=4R2=12,所以 a=2.

设正三棱锥 P-ABC 的高为 h,则 V=13×12a3=13× 43×(2 2)2h,解得 h=2 3 3,故球心到

截面 ABC 的距离为

3-23 3=

3 3.

【答案】

3 3

[强化训练 4]【解析】令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)=1x-1=1-x x.



0<x<1

时,f′(x)>0,即函数

f(x)在(0,1)上是增函数.∵1>2

1 011>2

1 012>2

0113>0,∴a>b>c.

【答案】a>b>c

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